静電容量

ある導体に電荷$q$を帯電させた時、その導体表面の電位が 無限遠点を基準に$\phi$になったとする。この時、この導体の 静電容量$C$は

$$Q = C \phi$$ (2.46)

で与えられる。その単位にはC/Vを用い、Fと略記してファラッドと 呼ぶ。静電容量は導体を帯電させるのに必要な エネルギーが小さいほど大きくなる。また、その時のエネルギーは

$$U = \frac{1}{2} q \phi = \frac{1}{2}C \phi^2 = \frac{1}{2C}q^2$$ (2.47)

となる。

図 2.8:

導体が多数ある場合には、お互いに影響を及ぼしあう。 導体1の電位を$\phi_1$、導体2の電位を0とした場合に、 それぞれの導体の持つ電荷を$q_1, q_2$とすれば、

$$q_1 = C_{11} \phi_1, \quad q_2 = C_{21} \phi_1$$ (2.48)

となる。導体1の電位を$0$、導体2の電位を$\phi_2$とした場合に、 それぞれの導体の持つ電荷を$q_1, q_2$とすれば、

$$q_1 = C_{12} \phi_2, \quad q_2 = C_{22} \phi_2$$ (2.49)

となる。導体1，2の電位がそれぞれ $\phi_1,\phi_2$の場合には 重ね合わせになるので、

$$\left( \begin{array}{c} q_1 \ q_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \phi_1 \ \phi_2 \end{array} \right)$$ (2.50)

となる。

$C_{ij}$は導体の形状や位置関係で決まるが、必ず

$$C_{12} = C_{21}$$ (2.51)

となる。この関係を容量係数の相反定理と呼ぶ。