問題2.4.10

半径$R_1$の導体球を内径$R_2$で外径$R_3$の球殻の中に中心が 一致するように入れた。電気容量係数（行列）を求めよ。

===== 解答 =====

導体球と導体球殻にそれぞれ電荷を$q_1, q_2$を与えた。このとき、電場は大き さ

$$\begin{eqnarray*} E(r) &=& \left\{ \begin{array}{cc} \frac{q_1}{4\pi\epsilon_0 ... ...\frac{q_1+q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2} & R_3 < r \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

で、外向きに（電荷は正として）放射線状に向いている。従って、無限遠点を基 準にして、$R_1, R_3$における電位 $\phi_1,\phi_2$を求めると、

$$\begin{eqnarray*} \phi_2 &=& \int_{R_3}^\infty \frac{q_1+q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr = \frac{q_1+q_2}{4\pi\epsilon_0 R_3} \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \phi_1 &=& \phi_2 + \int_{R_1}^{R_2} \frac{q_1}{4\pi\epsilon_0... ...q_1}{4\pi\epsilon_0 }\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \end{eqnarray*}$$

$q_1, q_2$について解くと、

$$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} q_1 \ q_2 \end{array} \right) &=& 4\p... ...t) \left( \begin{array}{c} \phi_1 \ \phi_2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$