問題2.4.8

導体が2個ある場合について、相反定理を以下の手順で証明せよ。

1. 電荷$q_1, q_2$が与えられた時の $\phi_1,\phi_2$を求めよ。
   $$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} q_1 \ q_2 \end{array} \right) &=& \le... ...ht) \left( \begin{array}{c} \phi_1 \ \phi_2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   を解けば良い。
2. $U = \frac{1}{2}(q_1 \phi_1+q_2\phi_2)$より 系全体のエネルギーを求めよ。
3. 導体1の電荷を微少量$\delta q_1$だけ変化させた時のエネルギーの変化 $\delta U$を求めよ。ただし、 $\delta U = \frac{\partial U}{\partial q_1}\delta q_1$を用いる。
4. $\delta q$を微少と考えれば、その電荷変化による電位変化は $\delta q^2$の程度となり、無視できる。従って、 $\delta U= \phi_1 \delta q_1$として、良いはずである。 上と比較することによって、相反定理が成り立つことを示せ。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} && \left( \begin{array}{c} \phi_1 \ \phi_2 \end{array} \right... ...} \right) \left( \begin{array}{c} q_1 \ q_2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 上で求めた $\phi_1o \phi_2$を代入すれば、
   $$\begin{eqnarray*} U&=& \frac{C_{22}q_1^2-(C_{12}+C_{21})q_1q_2+C_{11}q_2^2} {2(C_{11}C_{22}-C_{12}C_{21})} \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $$\begin{eqnarray*} \delta U&=& \frac{C_{22}q_1-\frac{C_{12}+C_{21}}{2}q_2} {C_{11}C_{22}-C_{12}C_{21}} \delta q \end{eqnarray*}$$
   
   

4. $$\begin{eqnarray*} \delta U &=& \frac{C_{22}q_1- C_{12}q_2}{C_{11}C_{22}-C_{12}C_{21}}\delta q_1 \end{eqnarray*}$$
   
   
   は先に計算した$\delta U$と等しい。従って、 $C_{12} = C_{21}$でなければな らない。