問題2.4.6

平らな導体の表面から$d$だけ離れた所に置かれた直線状の電荷がある。その線 電荷密度は$\lambda$である。電場を求めよ。また、導体表面に生じる電荷密度を求めよ。

===== 解答 =====

直線状の電荷は点電荷が線上に分布していると考える。それぞれの電荷の鏡像は 先の問題と同様に考えることができる。また、無限に長い直線状の電荷を考えて いるので、電場を求めるのは$x=0$の位置だけで十分である。

直線状の電荷による電場の大きさ$E$はガウスの法則より、 $\vec{r} =(0,y,z)$では

$$\begin{eqnarray*} 2 \pi l \vert\vec{r} -(0,0,d)\vert \varepsilon_0 E_{\rm l} &=& \lambda l \end{eqnarray*}$$

となる。向きも考慮すると、

$$\begin{eqnarray*} \vec{E}_{\rm l}(\vec{r}) &=& \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_... ...{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{(0,y,z-d)}{y^2+(z-d)^2} \\ \end{eqnarray*}$$

となる。同様に鏡像による電場 $\vec{E}_{\rm m}$は

$$\begin{eqnarray*} \vec{E}_{\rm m}(\vec{r}) &=& \frac{-\lambda}{2 \pi \varepsilon... ...-\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \frac{(0,y,z+d)}{y^2+(z+d)^2} \\ \end{eqnarray*}$$

となる。従って、電場は、

$$\begin{eqnarray*} \vec{E} (\vec{r}) &=& \vec{E}_{\rm l}(\vec{r})+ \vec{E}_{\rm m... ...(0,y,z-d)}{y^2+(z-d)^2} - \frac{(0,y,z+d)}{y^2+(z+d)^2} \right) \end{eqnarray*}$$

特に、$z=0$では

$$\begin{eqnarray*} \vec{E} (\vec{r}) &=& -\frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0} \frac{(0,0,d)}{y^2+d^2} \end{eqnarray*}$$

となる。従って、表面電荷密度は $-\frac{\lambda}{\pi} \frac{d}{y^2+d^2}$となる。