問題2.4.5

一様な静電場$\vec{E}_0$の中に帯電してない半径$R$の導体球を置いた。 静電場はどのようになるか？

1. 一様な静電場を作る電位は、 $\phi_0(\vec{r}) = - \vec{E}_0 \cdot \vec{r}$であることを確認せよ。
2. 電気双極子による電位は $\phi_1(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\vert\vec{r}\vert^3}$である。一様な 電場を作る電位と電気双極子が作る電位が球の表面上で0になる条件は何 か？
3. 導体球の外側の電位を求めよ。
4. 導体球の表面の電荷密度を求めよ。
5. この表面の電荷分布と同じ電荷分布を絶縁体球上に再現した。この電荷分 布によって得られる電場を考察せよ。

===== 解答 =====

1. 省略。
2. 合成した電位は、 $\vec{r} = R \vec{n}$の位置で、
   $$\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r}) &=& -\vec{E}_0 \cdot R\vec{n} + \frac{1}{4\pi ... ... \frac{\vec{p}}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}\right) \cdot R \vec{n} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。ただし、$\vert\vec{n}\vert =1$とする。 従って、 $\vec{p} = 4 \pi \varepsilon_0 R^3 \vec{E}_0$が条件となる。

3. $$\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r}) &=& -\vec{E}_0 \cdot \vec{r} + \frac{1}{4\pi \... ... - \frac{R^3}{\vert\vec{r}\vert^3}\right)\vec{E}_0\cdot \vec{r} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。
4. $r \ge R$において、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\phi(\vec{r}) &=& -3 R^3 r^{-4}\frac{\vec{r}}{r}\v... ... -\left( 1 - \frac{R^3}{\vert\vec{r}\vert^3}\right)\vec{E}_0 \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。 $\vec{r} = R \vec{n}$のとき、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\phi(\vec{r}) &=& -3 (\vec{E}_0 \cdot \vec{n})\vec{n} \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。従って、電荷密度はこれを$\varepsilon_0$倍すれば良い。

5. 導体球内部では、この電荷密度による電場と外場によって導体球の内部 の電場は0になっていた。従って、この電荷密度による電場は外場と反対向き、 すなわち$-\vec{E}$となる。一方、球外部では原点に $\vec{p} = 4 \pi \varepsilon_0 R^3 \vec{E}_0$という電気双極子がある場合の電 場になる。