問題2.4.4

平らな導体の表面から$d$だけ離れた所に置かれた点電荷$q$による電場と導体に 静電誘導される表面電荷密度を以下の手順に従って求めよ。

1. 点電荷の近傍では電気力線は放射状に、そして導体の表面には電気力線は 垂直に入射することに注意して、全空間での電気力線の様子を描け。
2. 導体表面を鏡面と見立てたときの点電荷$q$の像の位置に$-q$の電荷を置 き、この二つの電荷による電気力線の様子を描け。ただし、導体の存在は 無視する
3. 2番目の場合の金属の外の電位を求めよ。
4. 点電荷$q$を無限遠まで引き離すために必要な仕事を求めよ。

===== 解答 =====

1. 省略。
2. 省略。
3. 電位$\phi(\vec{r})$は
   $$\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r}) &=& \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1... ...-(0,0,d)\vert} - \frac{1}{\vert\vec{r}-(0,0,-d)\vert}\right)\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   $\phi(x,y,0) = 0$になっており、金属表面が等電位面になっている。

   電場は

   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{r}) &=& -\vec{\nabla}\phi(\vec{r}) \\ &=& \frac{... ...&& \left. -\frac{(x, y, z+d)}{(x^2+y^2+(z+d)^2)^{3/2}} \right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   特に$z=0$では、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}(x,y,0) &=& -\vec{\nabla}\phi(\vec{r}) \\ &=& - \frac{q}{2 \pi \varepsilon_0}\frac{(0, 0, d)}{(x^2+y^2+d^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。従って、表面電荷密度は $\sigma = \varepsilon_0 E$より求まる。
4. $(0,0,z)$にある点電荷に働く力は、鏡像との間に働く力より計算でき、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{F} &=& - \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2z)^2}(0,0,1) \end{eqnarray*}$$
   
   
   である。これに抗して電荷を動かさないといけない。従って、必要な仕事は
   $$\begin{eqnarray*} W &=& \int_d^\infty \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2z)^2}dz \\ &=& \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。