円柱座標系

線対称な問題、例えば

原点を通る$z$軸上に電荷密度$\rho$で一様に分布した 電荷があり、その周囲の電界の様子を求める。

ような場合、次のような円柱座標系をとれば便利である。

空間上のある点$\vec{r}$を考える。これらの変数が 他の変数$(r, \phi, z)$によって、以下のように表されると する。

$$x = r \cos \phi$$ (1.14)

$$y = r \sin \phi$$

$$z = z \nonumber$$

この$(r, \phi, z)$を円柱座標と言う。直感的には、 円柱の表面の位置をどのように指定すれば良いかを 考える。

$\vec{e}_i$と同様なベクトルを定義しておくと、便利である。円柱座標の場合は、 以下のように各点毎に異なった直交した2つのベクトルを新たに 定義しなければならない。

$$\vec{e}_r = \vec{i} \cos \phi + \vec{j} \sin \phi$$ (1.15)

$$\vec{e}_\phi = -\vec{i} \sin \phi + \vec{j} \cos \phi$$

$$\vec{e}_z = \vec{k} \nonumber$$