ラプラス方程式

円柱座標でのラプラス方程式を考えよう。

$\vec{\nabla}$は、

$$\vec{\nabla}\psi = \vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} \psi ... ...ac{\partial}{r \partial \phi} \psi + \vec{k} \frac{\partial}{\partial z} \psi$$ (1.19)

証明は文献[4]を参照のこと。

また、

$$\vec{\nabla}^2 \psi = \frac{1}{r} \partial_r(r \partial_r \psi) + \frac{1}{r^2} \partial_\phi^2 \psi + \partial_z^2 \psi$$ (1.20)

である。$\psi$が$r$だけの関数である場合は、ラプラス方程式は

$$\partial_r(r \partial_r \psi) = 0$$ (1.21)

と非常に簡単になる。