円柱の体積

半径1、高さ1の球の体積$V$は

$$V = \int_0^1 dz \int_{x^2+y^2\le 1} dx dy$$ (1.16)

であるが、積分範囲を指定するために変数が相互に関連している。 これでは、積分を行うことは 困難である。そこで、この積分を円柱座標を用いて行うことを 考えよう。

$$V = \int_0^1 dz \int_0^1 dr \int_0^{2 \pi} d\phi \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \phi, z)}$$ (1.17)

となり、積分を各変数ごとに独立に行うことができるようになり、計算は 簡単になる。ただし、

$$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \phi, z)} = r$$ (1.18)

はヤコビアンである。