問題1.5.4

極座標と円柱座標の場合に $\vec{\nabla}^2 \psi$を計算せよ。 ただし、極座標の場合は$\psi$が$\theta, \phi$に依存せず、 円柱座標の場合には$\psi$が$\phi, z$に依存しない場合を考えよ。

ヒント

極座標の場合、

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{v}$$ (1.22)

$$= \frac{1}{r^2 \sin \theta } \Big( \sin \theta \partial_r (r^2 v_r) + r \partial_\theta (\sin \theta v_\theta) + r \partial_\phi v_\phi \Big)$$

である。また、 円柱座標の場合、

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{v} = \frac{1}{r}\partial_r(r v_r) + \frac{1}{r}\partial_\phi v_\phi + \partial_z v_z$$ (1.23)

である。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}^2 \psi &=& \vec{\nabla}\cdot (\vec{\nabla}\psi) \end{eqnarray*}$$
   
   
   を計算する。ここで、$\psi$は動径方向のみの依存性を持つので、 $\vec{\nabla}\psi$は動径方向の成分しかもたない。すなわち、 $\vec{\nabla}\psi = (\partial_r \psi) \vec{e}_r + 0 \vec{e}_\theta + 0 \vec{e}_\phi$ と表すことができる。従って、ヒントの式を使って、
   $$\begin{eqnarray*} && \vec{\nabla}\cdot (\vec{\nabla}\psi) \\ &=& \frac{1}{r^2 ... ...ac{1}{r^2 } \Big( \partial_r (r^2 \partial_r \psi) \Big) \\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   $r^2 \ne 0$であるから，ラプラス方程式は $\partial_r (r^2 \partial_r \psi)=0$ と表される．

2. 同様に、与えられた条件から $\vec{\nabla}\psi = (\partial_r \psi) \vec{e}_r + 0 \vec{e}_\phi + 0 \vec{e}_k$ となるはずである。従って、ヒントの式を使って、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}^2 \psi &=& \vec{\nabla}\cdot (\vec{\nabla}\psi) ... ...tial_z 0 \\ &=& \frac{1}{r}\partial_r(r \partial_r \psi ) \end{eqnarray*}$$
   
   
   $r \ne 0$であるから，ラプラス方程式は $\partial_r (r \partial_r \psi)=0$ と表される．