ラプラス方程式

ラプラス方程式とは、

$$\vec{\nabla}^2 \psi = 0$$ (1.9)

あるいは、

$$(\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_y^2) \psi = 0$$ (1.10)

と表される方程式である。Maxwellの方程式の1番目の式（電荷の保存則）が この形になっているので、電磁気学では非常に重要な方程式である。

$\vec{\nabla}$は、

$$\vec{\nabla}\psi = \vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} \psi ... ...\theta} \psi + \vec{e}_\phi \frac{\partial}{r \sin \theta \partial \phi} \psi$$ (1.11)

となる。これは、点 $(r, \theta, \phi)$から、微小変化 $dr$を行ったときの点の移動距離は$d r$、微小変化 $d \theta$を行ったときの点の移動距離は$r d \theta$、微小変化 $d \phi$を行ったときの点の移動距離は $r \sin \theta d \phi$ であることから、推測できるだろう。証明は文献[4]を 参照のこと。

また、

$$\vec{\nabla}^2 \psi$$ (1.12)

$$= \frac{1}{r^2 \sin \theta} \Big( \sin \theta \partial_r(r^2 \par... ...heta \partial_\theta \psi) + \frac{1}{\sin \theta }\partial_\phi^2 \psi \Big)$$

である。$\psi$が$r$だけの関数である場合は、ラプラス方程式は

$$\partial_r(r^2 \partial_r \psi) = 0$$ (1.13)

と非常に簡単になる。