球の体積

半径1の球の体積$V$は

$$V = \int_{x^2+y^2+z^2 \le 1} dx dy dz$$ (1.5)

であるが、積分範囲を指定するために変数が相互に関連している。 これでは、積分を行うことは 困難である。そこで、この積分を極座標を用いて行うことを 考えよう。

$$V = \int_0^1 dr \int_0^{\pi} d\theta \int_0^{2 \pi} d\phi \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \phi)}$$ (1.6)

となり、積分を各変数ごとに独立に行うことができるようになり、計算は 簡単になる。ただし、

$$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \phi)} = r^2 \sin \theta$$ (1.7)

はヤコビアンである。ヤコビアンは一般に次のように表される。

$$\prod_i^n dx_i = \frac{\partial (x_1, x_2, \ldots, x_n)} {\partial (y_1, y_2, \ldots, y_n)}\prod_j^n dy_j$$

$$\frac{\partial (x_1, x_2, \ldots, x_n)}{\partial (y_1, y_2, \ldots, y_n)} = \left \vert \begin{array}{cccc} \frac{\partial x_1}{\partial y_1... ...2} & \ldots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n} \\ \end{array}\right \vert$$ (1.8)

また、熱力学の講義ノートも参照のこと。