極座標系

点対称な問題、例えば

原点に点電荷$q$があり、その周囲の電界の様子を求める。

ような場合、次のような極座標系をとれば便利である。

空間上のある点$\vec{r}$を考える。これらの変数が 他の変数 $(r, \theta, \phi)$によって、以下のように表されると する。

$$x = r \sin \theta \cos \phi$$ (1.4)

$$y = r \sin \theta \sin \phi$$

$$z = r \cos \theta \nonumber$$

この $(r, \theta, \phi)$を極座標と言う。直感的には、 $r, \theta, \phi$は それぞれ、原点からの距離、緯度、経度を表す変数である。

図 1.11: 極座標

$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$と同様なベクトルを定義しておくと、 便利である。極座標の場合は、 以下のように各点毎に異なった直交した3つのベクトルを定義しなければならない。

$$\begin{eqnarray*} \vec{e}_r &=& \vec{i} \sin \theta \cos \phi + \vec{j} \sin \... ...}_\phi &=& -\vec{i} \sin \phi + \vec{j} \cos \phi \ \nonumber \end{eqnarray*}$$

各点毎に3つの直交したベクトルを考えなければならないので、 極座標は一見とっつきにくいかも分からない。しかしながら、極座標を 用いることによって、問題が非常に簡単になる場合がある。