ベクトル・ポテンシャル

ベクトル・ポテンシャルが存在することを証明する。電流分布 $\vec{i}(\vec{r})$から $\vec{A}(\vec{r})$を決めることができれば、証明でき たことになる。

式 2.80に $\vec{B}(\vec{r})= \vec{\nabla}\times \vec{A}(\vec{r})$ を代入すると、

$$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times \vec{A}(\vec{r}) \rig... ...\vec{A}(\vec{r}) + \vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot \vec{A}(\vec{r})\right)$$ (2.83)

だから、 $\vec{\nabla}\cdot \vec{A}(\vec{r}) = 0$を仮定すると

$$\vec{\nabla}^2 \vec{A}(\vec{r}) = -\mu_0 \vec{i}(\vec{r})$$ (2.84)

が得られる。従って、

$$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\vec{i}(\vec{r} ')} {\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert}dV'$$ (2.85)

のように $\vec{A}(\vec{r})$を求めることができる^2.6。

次にこのようにして求めた $\vec{A}(\vec{r})$が $\vec{\nabla}\cdot \vec{A}(\vec{r}) = 0$を満たすことを示せば 証明は完了する。定義に従って、

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \vec{i}(\vec{r} ')\cdot \left( \vec{\nabla}\frac{1}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert} \right)dV'$$

$$= \frac{\mu_0}{4\pi}\int \vec{i}(\vec{r} ') \cdot \left(- \vec{\nabla}' \frac{1}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert}\right) dV'$$ (2.86)

が得られる。ここで $\vec{\nabla}=(\partial_x, \partial_y,\partial_z)$ であるのに対して $\vec{\nabla}'=(\partial_{x'}, \partial_{y'},\partial_{z'})$とする。 さらに、

$$\vec{\nabla}' \cdot \left(\frac{\vec{i}(\vec{r} ')}{\vert\vec{r... ...') \cdot \vec{\nabla}' \left(\frac{ 1 }{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert}\right)$$ (2.87)

だから、

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{A}(\vec{r})$$

$$= \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{ \vec{\nabla}\cdot \vec{i}(\vec{r} ... ...ot \left(\frac{\vec{i}(\vec{r} ')}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert}\right) dV'$$ (2.88)

となる。定常電流では電荷の保存則より $\vec{\nabla}\cdot \vec{i}(\vec{r}) = 0$である。一方、 第2項はガウスの定理により表面積分になり、十分大きな体積をとることに よりその積分はゼロにすることができる。言い換えると，無限に大きな空間に 有限の電流が分布していると無限に大きなエネルギーが必要となり，それは 許されない訳である。以上により、 $\vec{\nabla}\cdot \vec{A}(\vec{r}) = 0$が証明できた。