静電ポテンシャルとベクトル・ポテンシャル

静電場 $\vec{E}(\vec{r})$は $\vec{E}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}\phi(\vec{r})$のように 静電ポテンシャル$\phi(\vec{r})$によって表すことが可能である。 このように表すことができるのは、 $\vec{\nabla}\times \vec{E}(\vec{r}) = \vec{0}$ であることによっている^2.3。静電場を計算する場合、静電ポテン シャルをまず求めて、それから電場を計算する方が便利な場合が多い。

同様なことが静磁場にもある。ただし、静磁場の基本法則は

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{B}(\vec{r}) = 0$$ (2.79)

$$\vec{\nabla}\times \vec{B}(\vec{r}) = \mu_0 \vec{i}(\vec{r})$$ (2.80)

である。電流があると渦なしの条件が崩れ、ポテンシャルを定義することが出来 なくなる。そこで、

$$\vec{B}(\vec{r}) = \vec{\nabla}\times \vec{A}(\vec{r})$$ (2.81)

を考える。このように表すと式 2.79は自動的に 満たされるので^2.4、 式 2.80のみを考えれば良いことになる。ただし、この時点では $\vec{A}(\vec{r})$が存在は証明されていない。