問題2.7.4

無限に長い半径$R$の円筒上に電荷が一様に分布している（面電荷密度は $\sigma_0$）。円筒を回転させた。円筒の部分での速さを$v_0$とする。

1. 円筒が回転することによって生じるベクトル・ポテンシャルを求めよ。
2. 求めたベクトル・ポテンシャルから磁場を求めよ。

===== 解答 =====　

1. 半径$R$の側面に密度$\sigma$で一様に分布する電荷による電場は 軸から放射状に生じ、軸からの距離が$r$の点における強さは $E(r) = 0$ $(r<R)$、 $E(r) = \sigma R/ (\varepsilon_0 r)$ $(r>R)$である。 静電ポテンシャルで表すと、
   $$\begin{eqnarray*} \phi(r) &=& \left\{ \begin{array}{cc} -\frac{\sigma R}{\vareps... ...\frac{\sigma R}{\varepsilon_0} \log r & (r>R) \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
   
   
   円筒に流れる電流の軸をz軸に取り、 $\varepsilon_0 \rightarrow 1/\mu_0$, $\sigma \rightarrow I/(2\pi R)$の置き換えを行うと、ベクトル・ ポテンシャル
   $$\begin{eqnarray*} A_z(r) &=& \left\{ \begin{array}{cc} -\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \l... ...<R) \\ -\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \log r & (r>R) \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
   
   
   が得られる。
2. $\vec{B} = \vec{\nabla}\times \vec{A}$より求まる。