問題2.7.3

非常に大きな半径$R$の円盤上に電荷が一様に分布している（面電荷密度は $\sigma_0$）。最初円盤の中心は原点にあり、やがてx方向に速さ$v_0$で動き始め た。ただし、円盤は常にxy面上にある。動き始めた瞬間を考えよう。

1. 円盤が動くことによって電流が生じる。その面電流密度を求めよ。
2. 円盤が動くことによって生じるベクトル・ポテンシャルを求めよ。 ただし、点$\vec{r}$（$r \ll R$、$z>0）$の点について調べれば良い。
3. 求めたベクトル・ポテンシャルから磁場を求めよ。

===== 解答 =====

1. 面電荷が$\sigma_0$でx方向に速さ$v_0$で動いているので、面電流密度$i_0$は
   
   $$i_0 = \sigma_0 v_0$$
   
   
   となる。
2. ベクトル・ポテンシャルを表す式に代入すると
   $$\begin{eqnarray*} \vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0 i_0}{4\pi} \int\frac{(1,0,0)}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert}dx'dy' \end{eqnarray*}$$
   
   
   $r \ll R$より $\vec{r}=(0, 0, z)$の場合のみを考えれば十分である。また、明ら かにベクトル・ポテンシャルはy,z成分はゼロなので、x成分のみを考える。
   $$\begin{eqnarray*} A_x(z) = \frac{\mu_0 i_0}{4\pi} \int\frac{1}{\sqrt{x'^2+y'^2+z^2}}dx'dy' \end{eqnarray*}$$
   
   
   円筒座標を用いて$dx'dy'$を$rd\theta dr$に置き換えると、
   $$\begin{eqnarray*} A_x(z) &=& \frac{\mu_0 i_0}{4\pi} \int_0^{2\pi}d\theta \int_... ..._0^R \\ &=& \frac{\mu_0 i_0}{2}\left(\sqrt{R^2+z^2}-z \right) \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $$\begin{eqnarray*} B_x(z)&=&\partial_y A_z - \partial_z A_y = 0\\ B_y(z)&=&\part... ...c{\mu_0 i_0}{2}\\ B_z(z)&=&\partial_x A_y - \partial_y A_x =0 \end{eqnarray*}$$