問題2.7.2

非常に長い線分上を流れる電流$I$が点$\vec{r}$につくる ベクトル・ポテンシャル $\vec{A}(\vec{r})$を求めよ。 線分は$(0,0,-\ell)$から$(0,0,\ell)$で、$\ell \gg r$とする。また、このベ クトル・ポテンシャルから得られる磁場を計算せよ。

ヒント：

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\log\left( \sqrt{a^2+x^2}+x \right) = \frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}} \end{eqnarray*}$$

===== 解答 =====

$$\begin{eqnarray*} \vec{A}(\vec{r}) &=& \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{-\ell}^\ell \frac{(0,0,1)}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert}dz' \\ \end{eqnarray*}$$

ここで、 $\vec{r} = (x,y,z), \vec{r} ' = (0,0,z')$である。 $A_x(\vec{r})= A_y(\vec{r})= 0$は明らかである。従って、以後 $A_z(\vec{r})$のみを考察する。$\vert x\vert\gg \vert x'\vert$、$\vert y\vert \gg \vert y'\vert$と $\ell \gg \vert z\vert$より、

$$\begin{eqnarray*} A_z(\vec{r}) &\approx& \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{-\ell}^\el... ... I}{2 \pi} \log \left(\frac{ 2\ell} {\sqrt{x^2+y^2}} \right) \\ \end{eqnarray*}$$

と近似できる。

ベクトル・ポテンシャルはz成分しかないから、

$$\begin{eqnarray*} B_x &=& \partial_y A_z(\vec{r}) = -\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\par... ..._0 I}{2 \pi r}\partial_x r = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\frac{x}{r} \end{eqnarray*}$$

となる。ここで、$\ell$は定数としてその微分はゼロとしている。