静電エネルギー

点電荷

がそれぞれ位置 $\vec{r}_1, \vec{r}_2$ に存在する。電荷

による電荷

の位置におけるポテンシャルは、

$\displaystyle \phi_1(\vec{r}_2)$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1}{\vert\vec{r}_2 - \vec{r}_1\vert}$

(2.23)

である。従って、二つの電荷が存在することによる（静電）エネルギーは

$\displaystyle U$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1 q_2}{\vert\vec{r}_2 - \vec{r}_1\vert}$

(2.24)

となる。複数の電荷が存在する場合には以下のように拡張すればよい。

$\displaystyle U$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon} \sum_{(i,j)}^n \frac{q_i q_j}{\vert\vec{r}_j - \vec{r}_i\vert}$

(2.25)

ここで、 $\sum_{(i,j)}^n$ はn個の電荷のすべての組み合わせについて足しあげることを意味する。また、以下のように表すこともできる。

$\displaystyle U$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \phi_i' q_i$	(2.26)
$\displaystyle \phi_i'$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{j(\ne i)}^n \frac{q_j}{\vert\vec{r}_i - \vec{r}_j\vert}$	(2.27)

$\phi_i'$ は電荷

以外の電荷から生じる電位である。ここで

は2回足しあわせてしまっているので、それを補正するためである。より一般には、

$\displaystyle U$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} \int \phi (\vec{r}) \rho(\vec{r}) dV$	(2.28)
$\displaystyle \phi(\vec{r})$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r} ')}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert} dV'$	(2.29)

となる。あるいは、

$\displaystyle U$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{1}{2} \int \!\!\! \int \frac{\rho(\vec{r}) \rho(\vec{r} ')}{4\pi \varepsilon_0 \vert\vec{r} - \vec{r} '\vert} dV dV'$

(2.30)

とあらわすこともできる。

Administrator 平成25年7月6日