問題2.2.18

無限に長い直線上に正負の点電荷$\pm q$が交互に間隔$a$をおいて並んでいる。 点電荷1個当たりの静電エネルギーを計算せよ。

===== 解答 =====

1個の電荷とその他の電荷との静電エネルギーは、

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( -\frac{2 q^2}{a} + \frac{2 q^2}{2a} -\frac{2 q^2}{3a} + \dots \right) \end{eqnarray*}$$

となる。電荷1個あたりの静電エネルギーはこれの半分で、

$$\begin{eqnarray*} - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a } \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i} = - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a } \log 2 \end{eqnarray*}$$

となる。