問題2.2.15

半径$R$の球内に電荷密度$\rho_0$で電荷が一様に分布している。このときの 静電エネルギーを求めよ。

===== 解答 =====

半径$r$電荷密度$\rho$の球に電荷を運んで、半径を$dr$だけ大きくするために 必要な仕事を求めよう。運ぶべき電荷は $4 \pi r^2 \rho dr$である。一方、電位は $\frac{\rho r^2}{3 \varepsilon_0}$である。問題2.2.13を 参照。従って、

$$\begin{eqnarray*} W &=& \int_0^R \frac{\rho r^2}{3 \varepsilon_0} 4 \pi r^2 \rho... ...nt_0^R r^4 dr\\ &=& \frac{4 \pi \rho^2 }{15 \varepsilon_0}R^5 \end{eqnarray*}$$

となる。