ガウスの法則

ガウスの法則を理解するために、立体角$d\Omega$を 定義しておこう。ある面$dS$を原点から見た時の 立体角$d\Omega$は

$$d\Omega = \frac{d\vec{S} \cdot \vec{r}}{r^3}$$ (2.7)

である。 ただし、$d\vec{S}$は大きさが$dS$で方向はこの 面に垂直で外向きのベクトルである。 例えば、原点を中心とする半径$r_0$の球の原点から 見込んだ立体角は球の表面積が$4 \pi r_0^2$だから それを$r_0^2$で割って$4 \pi$になる。

図 2.3:

原点に電荷$q$があり、その周りを閉曲面$S$が囲んでいる。その閉曲面上 で $\vec{E} \cdot d\vec{S}$を積分すると、

$$\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \int_S \frac{q \vec{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \cdot d\vec{S} ... ...}}{r^3} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \underbrace{\int_S d\Omega}_{4 \pi}$$

$$= q/\varepsilon_0$$ (2.8)

また、閉曲面$S$が電荷$q$を取り囲んでいない場合には $\int_S d\Omega=0$になるので $\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 0$ になる。以上まとめると、

$$\varepsilon_0 \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \left\{ \begin{array}{c} q ：（qがSの中にある時）\\ 0 ：（qがSの外にある時） \end{array} \right.$$ (2.9)

一般の電荷分布の場合には、

$$\varepsilon_0 \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \int_V \rho(\vec{r}) dV$$ (2.10)

となる。ただし、$V$は閉曲面$S$で囲まれた体積である。

図 2.4: