問題2.2.7

半径$a$の球内に一様な電荷密度$\rho$（正）で電荷が分布している場合 の電場を求めよ。ガウスの法則を用いても良い。

===== 解答 =====

対称性より同心球面$S$上ではすべての電場の大きさは一定で、 その方向は球面に垂直で外向きである。その大きさはその球面 の半径だけの関数であるから、$E(r)$とする。この球面上で ガウスの法則を適用すると、

$$\begin{eqnarray*} \varepsilon_0 \int_S E(r)dS = \varepsilon_0 E(r) \int_S dS = \varepsilon_0 E(r) 4 \pi r^2 \end{eqnarray*}$$

一方、この球面$S$内にある電荷の総和$q(r)$は、 以下の式で表されるので、

$$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} q(r) = \left\{ \begin{array}{c} \displa... ...a^3 \rho \hspace{3ex} r > a \end{array} \right. \end{array} \end{eqnarray*}$$

となる。ガウスの法則とあわせて、

$$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} E(r) = \left\{ \begin{array}{cc} \display... ..._0} \frac{a^3}{r^2} & r > a \end{array} \right. \end{array} \end{eqnarray*}$$

が得られる。