多重積分

空間に分布している電荷$\rho(\vec{r})$の総和を計算する場合がある。 そのような場合に対応するために、一つ以上の変数であるスカラー関数$f$ （値がスカラー量の関数）を積分する場合について考えよう。 ここでは、3次元空間を考え、変数を $$\vec{r}= \left( \begin{array}{c} x \ y\ z \end{array} \right)$$の組とする。

$$\begin{eqnarray*} \int_{\vec{r} \in V} f(\vec{r}) dv &=& \int_V f(\vec{r})dx dy ... ... z \rightarrow 0} \sum f(\vec{r})\Delta x \Delta y \Delta z \\ \end{eqnarray*}$$

実際に計算する場合は、考えている問題の対称性（ある種の規則性）を 考慮してできるだけ計算を簡 単する。詳しくは座標軸に関するセクション 1.5で議論する。

• 点対称の場合

  関数 $f(\vec{r}) = f(r)$のように原点からの距離$r$のみに依存する場合に、 全空間の積分は

  $$\begin{eqnarray*} \int f(\vec{r}) dv = \int_0^\infty f(r) 4\pi r^2 dr \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。$4\pi r^2 dr$は半径$r$で厚さが$dr$の球殻の体積である。

• 軸対称の場合

  関数 $f(\vec{r}) = f(r,z)$のようにz軸からの距離$r$とz座標のみに 依存する場合に、平面$z = z_0$での全積分は

  $$\begin{eqnarray*} \int_{z=z_0} f(\vec{r}) dS = \int_0^\infty f(r,z_0) 2\pi r dr \end{eqnarray*}$$
  
  
  となる。$2\pi r dr$は半径$r$で幅が$dr$のリングの面積である。

は電磁気で良く出てくる。