問題1.1.5

1. 半径1の円の面積を計算せよ
2. 半径1の球の体積を求めよ。

ヒント：

それぞれ、

$$\begin{eqnarray*} \int_{x^2+y^2 < 1} dx dy &=&\int_{-1}^1 dx \int_{\sqrt{1-x^2}}... ...^{\sqrt{1-x^2}} dy \int_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} dz \end{eqnarray*}$$

を計算すれば良い。

===== 解答 =====

解答は省略。

ただし、以下のように 対称性を考慮すれば計算が簡単になる典型的な例である。円の場合は、

$$\begin{eqnarray*} \int_{x^2+y^2 < 1} dx dy &=& \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 r dr \\ &=&\int_0^1 2\pi r dr \\ &=& \pi \end{eqnarray*}$$

となり、球の場合は

$$\begin{eqnarray*} \int_{x^2+y^2 +z^2< 1} dx dy dz &=& \int_0^{2\pi} d\phi \int_0... ...t_0^1 r^2 dr \\ &=&\int_0^1 4\pi r^2 dr \\ &=& \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray*}$$

となる。