問題1.1.2

微分の定義に従って関数 $x^2, x^n, \sin x, a^x$の微分を行え。 定義に従って計算を行うとは、以下のような計算を行なうことである。

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x & = & \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\D... ...m_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} \\ & = & 1 \end{eqnarray*}$$

===== 解答 =====

• $$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x^2 & = & \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{(x+\D... ... \rightarrow 0} \frac{2\Delta x+\Delta^2}{\Delta } \\ & = & 2 x \end{eqnarray*}$$
  
  

• $$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dx}x^n \\ & = & \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac... ...elta (c x^{n-2}+ \dots+\Delta ^{n-1})\right) \\ & = & n x^{n-1} \end{eqnarray*}$$
  
  
  ここで$c$はある定数。

• $$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dx}\sin x \ & = & \lim_{\Delta \rightarrow 0} \fr... ...ac{\sin \frac{1}{2}\Delta }{\frac{1}{2}\Delta } \\ & = & \cos x \end{eqnarray*}$$
  
  
  ここで $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\cos (x+\frac{1}{2}\Delta x) =\cos x$ は明らかであろう。

  $\lim_{\delta \rightarrow 0} \frac{\sin \delta }{\delta}=1$ は以下のようにして証明する。$\vert\delta\vert\ll 1$の場合図を描けば明らかなように $\vert\sin \delta\vert < \vert\delta\vert< \vert\tan \delta\vert$である。 従って
  

  $$\cos \delta < \vert\sin \delta /\delta\vert < 1$$
  
  
  を示す ことができる。
  $$\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \rightarrow 0} 1 =1 \\ \lim_{\delta \rightarrow 0} \cos \delta =1 \end{eqnarray*}$$
  
  
  であるから、二つの間にある $\vert\sin \delta /\delta\vert$も1に収束する。

• $$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}a^x & = & \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{a^{x ... ...c{e^{\ln a \Delta } - 1}{\ln a \Delta } \\ &=& a^x \ln a \end{eqnarray*}$$
  
  
  特に $\lim_{\Delta \rightarrow 0} (a^{\Delta } - 1)/(\Delta )=1$ となる$a$を自然対数の底$e$と呼ぶ。 $e=2.71828 \dots$である。