偏微分（偏導関数）：多変数の関数への微分の拡張

簡単のために2変数の関数$u=f(x,y)$を考え、 $$\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial x}$$ を以下のように定義する。

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} &=& \lim_{\Delta x \rightarrow ... ...\Delta y \rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta y} \end{eqnarray*}$$

$(x,y) \rightarrow (x+\Delta x,y+\Delta y)$の時の$u$の変化を考える。

$$\begin{eqnarray*} \Delta u & = & f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) \\ & = & (f... ...u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y \end{eqnarray*}$$

図 1.2:

ここで $\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0$の極限を考え、

$$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy$$

とする。変数が3以上の場合も同様に定義する。