積分

定積分を以下のように定義する。

$$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{1 < i... ...&\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{a < x_i < b} f(x_i) \Delta x \end{eqnarray*}$$

$$x_i=a + \frac{b-a}{n}i, \Delta x =\frac{b-a}{n}$$である。

一方、不定積分は

$$F_a(\xi) = \int_a^\xi f(x) dx$$

と定義される。

$$\begin{eqnarray*} F_a(\xi+\Delta \xi) & = & F_a(\xi) + f(\xi)\Delta \xi \\ & \... ...\Delta \xi \rightarrow 0 \\ \frac{d}{d\xi}F_a(\xi) & = & f(\xi) \end{eqnarray*}$$

すなわち、 $\frac{d}{dx}F_a(x) = f(x)$であり、積分が微分の逆演算であるこ とが分かる。

注意： $\frac{d}{dx}(F_a(x)+c) =f(x)$、ただし$c$は任意定数。

図 1.1: