微分

微分は拡張された傾きの概念と考えることができる。すなわち、

$$\frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

である。以下は高校で学習しているはずであるが良く復習しておくこと。

• 物理でよく使われる関数の微分
  $$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x^n & = & n x^{n-1} \\ \frac{d}{dx}\sin x & = &... ...\\ \frac{d}{dx}e^x & = & e^x \\ \frac{d}{dx}\ln x & = & 1/x \end{eqnarray*}$$
  
  

• 重要な公式

  • $$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x)) \ &=& (\frac{d}{dx}f(x))g(x)+f(x)(\frac{d}{dx}g(x)) \end{eqnarray*}$$
    
    

  • $$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)} \ &=& \frac{(\frac{d}{dx}f(x))g(x)-f(x)(\frac{d}{dx}g(x))}{(g(x))^2} \end{eqnarray*}$$
    
    

  • $y=f(x)$, $x=g(t) \Rightarrow y=f(g(t))$である時、
    
    $$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}$$