極限

数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えた ものについての極限がしばしば考察される。数の列がある値に限りなく近づくと き、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束する という。

限りなく近づくという曖昧な表現を避けて、 $\varepsilon-\delta$論法を用いて収 束を定義する。

数列 $a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に収束するとは

$$\forall \varepsilon \exists n_0 \in \bm{N} {\r... ... } [n>n_0 \Rightarrow \vert a_n -\alpha\vert < \varepsilon]$$

とできることである。ただし、$\bm{N}$は自然数の集合である^1.1。

数学の記号を使わずに表現すると「どんなに小さな正の数$\varepsilon$であっても、 その $\varepsilon$ に対して番号 $n_0$ を十分大きく定めれば、$n_0$ よ り大きい番号 $n$ に対する $a_n$ は $\alpha$ から $\varepsilon$ ほども離れない 範囲に全部入るようにすることができる」となる。数学的な表現の簡潔さに注意。

物理学では数列ではなく関数を考える場合が多い。その場合に使えるように極限 の概念を拡張しよう。

$f(x)$を実関数 、$x_0$を実数とした場合、

$$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f_0$$

であるとは、

$$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon \exists \delta \in \bm{R} &&\\ ... ...rt < \delta &\Rightarrow& \vert f(x) - f_0\vert < \varepsilon ] \end{eqnarray*}$$

とできることである。ただし、$\bm{R}$は実数の集合である。

物理学ではほとんどの場合、いろいろな物理量を表す関数は収束する。別の言い 方をすれば、そのような場合しか大学の初年度では考えない。