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格子上の場の理論は可算有限自由度の量子力学と等価であるため、連続の場の理論と比べて数学的に厳密に定義されており、また数値計算に基づく格子QCDは現実の物理を高精度に再現している。一方でグラフ理論は点と線で構成されるグラフに関する数学の理論であり、とりわけグラフから得られる行列はグラフが持つ不変量を内包している。
一見異なる両分野であるが、格子をグラフとして捉えることで格子上の場の理論をグラフ理論の視点から再定義することが可能となる。格子フェルミオンにおいてno-go定理から複数の自由度(species)が出現するという問題が存在するが、グラフ理論に基づくとこの問題に対して非自明な結果が得られる。その非自明な結果とは、speciesの最大個数はグラフのトポロジーに依存するという結果である。
本発表ではグラフ理論の基本的な概念の紹介、加えてグラフ理論としての格子フェルミオンの再定義を行う。そののち前述した非自明な結果について説明し、我々が新たに証明した定理についても言及する。
Semi-classical approximation is one of the most commonly used techniques in quantum theories. As it produces factorially divergent series, they have to be analyzed in the context of the resurgence theory. In this talk, I will start with a general discussion on divergent series. After explaining how the non-perturbative quantities are hidden in the divergent behaviour and how they can be obtained via Borel summation, as an example, I will discuss 1 loop effective action in Schwinger's proper time formalism and the non-perturbative pair production in the presence of uniform electric field. Then, in order to handle general non-uniform fields, I will introduce a recursive method to compute a (proper) time dependent perturbative expansion from which the non-perturbative effects are obtained by a Borel-like summation. In the second part of the talk, I will discuss how the recursive expansion is connected to the semi-classical expansion in the WKB formalism and how it offers a generalization to higher dimensional problems which can not be handled by the standard WKB integrals. I will finish the talk with an example on the effective action of the time dependent periodic electric fields in connection with the exact WKB formalism.