導体中の電磁波

誘電体中では、光速は周波数に応じて変化しても電磁波のエネルギーは誘電体に よって吸収されないとして、電磁波の伝搬を取り扱った。導体中では、誘電体 中と異なって、電磁波のエネルギーの導体による吸収が無視できな くなる。言い換えると、導体中を進む電磁波の振幅はだんだん減少する。

導体中の電磁波を考える場合、電流の効果を考慮しないといけない。その点が真 空中と異なっている。

電荷はないが（$\rho = 0$）、電流はある導体中を伝わる波を考える。 また、 $\vec{D}=\varepsilon \vec{E}$、そして $\vec{B}=\mu \vec{H}$としている。 よって、マクスウェルの方程式は 電界$\vec{E}$と磁場$\vec{H}$だけで表せ、

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot \vec{E} &=& 0\\ \vec{\nabla}\times \vec{E} ... ...bla}\times \vec{H} &=& \vec{i}+ \varepsilon \partial_t \vec{E} \end{eqnarray*}$$

となる。ここで$z$方向に伝わる平面波を考えると、すべての量は $z$と$t$だけの関数であるから、マクスウェルの方程式は

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot \vec{E} = 0 &\Longrightarrow& \displays... ...& = & i_z +\varepsilon \partial_t E_z \end{array} \right. \\ \end{eqnarray*}$$

となる。ただし、 $$\partial_A B = \frac{\partial B}{\partial A}$$と略記 している。$z$方向に進む平面波を考えているので、 $\partial_x$や$\partial_y$を作用させると結果は必ずゼロになる。 したがって、 $\partial_z E_z =0$が結論づけられる。しかも今は $z$方向に進む波を考えているので、$E_z$は定数でなければ ならないことが分かる。ここでは以後の計算を簡単にするためにゼロとする。 同様にして$H_z=0$が結論できるので、電磁波は 「横波」であることがわかる。

波動を表す式は $f(\vec{k}\cdot \vec{r}-t)$のように表されることに 注意。今の場合は，$E_z(z - ct)$となる。

ここで、$\vec{E}$の方向を$x$方向にとると、定義より$E_y=0$である。 電流 $\vec{i}=\sigma \vec{E}$である。ただし、 $\sigma$は周波数依存性がないとし て静電界の値を使うことにする。電界は$x$方向にしか値を持たないので、 $i_y =i_z=0$が結論づけられる。

次に、$E_y=0$と上記の方程式を合わせて、

$$\begin{eqnarray*} \partial_t H_x = 0,\qquad \partial_z H_x =0 \end{eqnarray*}$$

が得られる。すなわち、$H_x =0$となり$\vec{H}$は$y$成分だけを持つ。

結局、マクスウェルの方程式は以下のにように簡略できる。

$$\begin{eqnarray*} E_z &=& 0 \\ H_z &=& 0 \\ E_y &=& 0 \\ H_x &=& 0 \\ \parti... ...t H_y \\ - \partial_z H_y &=& i_x + \varepsilon \partial_t E_x \end{eqnarray*}$$

最初の2式は横波であることを示し、第3,4式は波に伴う電界と磁場の変動方向が 直交していることを表している。 最後の2つの方程式より、

$$\begin{eqnarray*} \partial_t (\partial_t E_x) &=& - \frac{1}{\varepsilon} \part... ...mu} \partial_z^2 E_x - \frac{\sigma}{\varepsilon} \partial_t E_x \end{eqnarray*}$$

整理すると、

$$\partial_z^2 E_x -\varepsilon \mu \partial_t^2 E_x - \sigma \mu \partial_t E_x = 0$$ (3.61)

となる。ここで、振動する電磁場を複素数で次のように表して,

$$\tilde{E}_x(z,t) = \tilde{E}(z)e^{i \omega t}$$ (3.62)

微分方程式を解くことにする。元の微分方程式は、

$$\partial_z^2 \tilde{E}(z) +( \varepsilon \mu \omega^2 - i \sigma \mu \omega) \tilde{E}(z) = 0$$ (3.63)

となる。

もしも$\sigma=0$ならば、

$$\tilde{E}(z) = E_0 e^{ - i k z }$$ (3.64)

が解になる。ただし、 $k = \pm \omega/v$、 $v = 1/\sqrt{\varepsilon \mu}$であ る。これを用いると、

$$E_x(z,t) = E_0 \cos k(z \mp vt)$$ (3.65)

となり、空間的に進む波を表していることがわかる。

導体中なので、$\sigma \ne 0$であるので、複素数の$\tilde{k}$を許して $\tilde{E}(z) = E_0 e^{- i \tilde{k}z }$とおいて解を求めると、

$$[-\tilde{k}^2 + (\varepsilon \mu \omega^2 - i \sigma \mu \omega)] E_0 = 0$$ (3.66)

となる。$E_0 \ne 0$でないと意味がないので、係数がゼロでないといけない。 従って、

$$\tilde{k}^2 = \varepsilon \mu \omega^2 - i \sigma \mu \omega$$ (3.67)

右辺の第1項と第2項の大きさを比較しよう。 $\sigma \sim 10^7$ [ $\Omega^{-1}{\rm m}^{-1}$]で、 $\varepsilon \sim 10^{-11}$ [Fm$^{-1}$]であるから、

$$\frac{\sigma}{\varepsilon} \sim 10^{18} [{\rm s}^{-1}]$$ (3.68)

である。このようにして、 可視光（ $\omega \sim 10^{14}$）を考えたとしても第1項は第 2項と比較して無視できることがわかった。従って、

$$\tilde{k}^2 \approx - i \sigma \mu \omega$$ (3.69)

あるいは、

$$\tilde{k} = \pm \frac{1 -i }{\sqrt{2}} \sqrt{\sigma \mu \omega}$$ (3.70)

が得られる。結局、

$$E_x(z,t) = E_0 \cos (\frac{z}{\ell} -\omega t)e^{-z/\ell}$$ (3.71)

ただし、

$$\ell = \sqrt{\frac{2}{\mu \sigma \omega}}$$ (3.72)

となる。この式は、導体中で進まず減衰する「波」を表している。

マイクロ波（ $\omega \sim 10^{10}$）の場合、 $\ell \sim \sqrt{\frac{2}{10^{-6} 10^7 10^{10}}} \sim 10^{-6}$ [m]になる。 マイクロ波の波長はcm程度あるから、電磁波は導体中には全くと言って良いほど 侵入できないことがわかる。