問題3.5.6

導体内の電子は原子に束縛されていない。従って、その運動方程式としては、

$$\begin{eqnarray*} m\partial_t \vec{v}+\frac{m}{\tau}\vec{v} = -e\vec{E}_0 \cos(\omega t) \end{eqnarray*}$$

が考えられる。これを解いて、 $\vec{i}(t) = -en\vec{v}(t)$より、電流密度を 求めよ。

===== 解答 =====

$d/dt \rightarrow i \omega$の置き換えを行うことによって、

$$\begin{eqnarray*} \tilde{\vec{v}} &=& \frac{-e}{m(1/\tau + i \omega)}\tilde{\vec{E}} \end{eqnarray*}$$

と解くことができる。電流 $\tilde{\vec{i}}$は、

$$\begin{eqnarray*} \tilde{\vec{i}} &=& -ne \tilde{\vec{v}}\\ &=& \frac{ne^2}{m(... ...1/\tau^2 + \omega^2)} \vec{E_0}(\cos \omega t +i \sin \omega t) \end{eqnarray*}$$

となる。求めるべき電流密度はこの式の実数部分であるから、

$$\begin{eqnarray*} \Re{(\tilde{\vec{i}})} &=& \Re{\left(\frac{ne^2(1/\tau -i \o... ...frac{\omega \tau }{1 + \omega ^2\tau^2} \sin \omega t)\vec{E_0} \end{eqnarray*}$$

となる。