電磁場のエネルギー

式3.26dと$\vec{E}$、式3.26cと$\vec{H}$の内積をとると、

$$\begin{eqnarray*} \vec{H} \cdot \{ \vec{\nabla}\times \vec{E} + \frac{\partial ... ...\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \} &=&\vec{E}\cdot \vec{i} \end{eqnarray*}$$

2つの式の差をとると、

$$\begin{eqnarray*} \vec{H} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} + \vec{E} ... ...t \{ \vec{\nabla}\times \vec{H} \} \\ = - \vec{E}\cdot \vec{i} \end{eqnarray*}$$

となる。ここで、

$$\vec{H} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} + \vec{E} \cdo... ...{\frac{1}{2} (\vec{E} \cdot \vec{D}+ \vec{H} \cdot \vec{B})}_{u(\vec{r},t)} \}$$ (3.24)

と、

$$\vec{H} \cdot \{ \vec{\nabla}\times \vec{E} \} - \vec{E} \cdot \{... ...ec{\nabla}\cdot \{ \underbrace{\vec{E} \times \vec{H}}_{\vec{S}(\vec{r},t)} \}$$ (3.25)

を用いると、

$$\frac{\partial u(\vec{r},t) }{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot \vec{S}(\vec{r},t) = - \vec{E}(\vec{r},t) \cdot \vec{i}(\vec{r},t)$$ (3.26)

となる。

各項の意味を考えてみよう。静電界のエネルギー密度は $\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}$で、静磁場のエネルギー密度は $\frac{1}{2}\vec{H}\cdot\vec{B}$（式3.14参照）で表された。 これらの式が時間変動する電界、磁場にも適用できると考えると、$u$は 電界と磁場、 すなわち電磁場のエネルギー密度を表していることになる。

右辺の $\vec{E}\cdot\vec{i}$は単位体積中の荷電粒子が電界から受ける単位時間当た りの仕事である。ローレンツ力は荷電粒子の運動方向と垂直に作用するので、磁 場は荷電粒子に仕事をしないことを考えると、右辺は単位体積中の荷電粒子が電 磁場から受ける単位時間当たりの仕事になる。電磁場から考えるとそれだけのエ ネルギーが電磁場から、なくなっていくことを示している。

$\vec{S}$の意味を考えるに当たって、式3.30と式3.27の 類似性に注目しよう。式3.30の$u,\vec{S}$と式3.27と $\rho,\vec{i}$が対応している。そのように考えると、$\vec{S}$は電磁場のエ ネルギーの流れに相当することがわかる。この式を導きだした人の名前をとって、 このベクトルはポインティング・ベクトル(Poynting vector)と呼ばれて いる^3.1。