変数と式の数

マクスウェルの方程式にあらわれる変数は、電界と磁場のの$x, y, z$方向の成分 で計6こである。一方、マクスウェルの方程式は成分に分解すると、計8こあるよ うにみえる。この点について考察しよう。

式3.26dの両辺の発散をとると、左辺は恒等的にゼロになる。

$$\begin{eqnarray*} \underbrace{\vec{\nabla}\cdot \{\vec{\nabla}\times \vec{H} \}}... ...ec{i} + \vec{\nabla}\cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{eqnarray*}$$

次に、式3.27を用いて、 $\vec{\nabla}\cdot \vec{i}$を消去し、 $$\vec{\nabla}\cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$は $\partial/\partial t$と $\vec{\nabla \cdot}$の順序を入れ替えると、

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}\{ \vec{\nabla}\cdot \vec{D} - \rho(\vec{r},t) \} = 0 \end{eqnarray*}$$

となる。言い換えると、ある関数$F(\vec{r})$を用いて、

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\cdot \vec{D} - \rho(\vec{r},t) = F(\vec{r}) \end{eqnarray*}$$

となる。これは、初期条件として、式3.26aが成立するならば、その後電 磁場が変化しても、常に式3.26aが成立することを意味している。よって、 式3.26aは式の数と変数の数を検討するときに、考えなくてよい。同様の ことが式3.26bにも成立するので、変数6こに対して式が6こあることになる。