静電場のエネルギー

キャパシターに電荷を蓄える場合に必要な仕事を考察する。 キャパシターの電位が$\phi$の時には電荷$q=C \phi$が蓄えられている。 ここに微少電荷$\Delta q$を無限遠点から運んで、電荷を$q+\Delta q$ にするために必要な仕事は$\phi \Delta q$である。よって、 電荷$0$から$q$まで蓄えるのに必要な仕事$W$は

$$U=\int_0^q \phi dq =\int_0^q \frac{q}{C} dq =\frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$$ (2.52)

となる。

図 2.10:

平行平板コンデンサーを考えれば、

$$U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{q}{\varepsilon_0 A} \right)^2 Ad =\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 Ad$$ (2.53)

となる。ここで、$A, d$はそれぞれ極板面積、極板間隔であり、 $Ad$は極板間の体積である。

この仕事は電場のエネルギーとして極板間の空間に蓄えられていると 考えることもできる。この電場のエネルギーの密度$u_0$は

$$u_0 = \frac{U}{Ad}=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} D E = \frac{1}{2\varepsilon_0} D^2$$ (2.54)

である。