問題2.4.17

平行平板コンデンサーの極板間を引き離すために必要な力を

1. 静電場のエネルギーの変化
2. 電場中の電荷に働く力

の2点から別々に計算せよ。もちろん、結果は同じになる。

===== 解答 =====

1. 面積$A$、間隔$d$の平行平板コンデンサーの容量は $C = \varepsilon_0 A /d$であ り、電荷$Q$が与えられた時の静電エネルギーは
   $$\begin{eqnarray*} U(d) &=& \frac{dQ^2}{2 \varepsilon_0 A} \end{eqnarray*}$$
   
   
   である。
   $$\begin{eqnarray*} F (d) &=& - \partial_d U(d) = - \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A} \end{eqnarray*}$$
   
   
   より力が得られる。ここで、負号は$d$の変化の向きと反対に力が働くことを意 味している。

2. 大きさのみに着目して、議論する。電場の大きさは $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(A \varepsilon_0)$だから、 $F = (1/2) E (\sigma A) = Q^2/(2 \varepsilon_0 A)$

ここで$1/2$は自身がつくる電場による2重の寄与を考慮したものである。