問題2.4.14

電荷$q$を持つ半径$R$の導体球の周囲の空間の静電場のエネルギーを求めよ。

===== 解答 =====

導体球の外の電場は $\vec{E}(\vec{r}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 }\frac{\vec{r}}{r^3}$である。電場のエネルギー密度は $u(\vec{r}) = (1/2) \varepsilon_0 \vert\vec{E}(\vec{r})\vert^2$であるから、それを積 分すると、

$$\begin{eqnarray*} U &=& \int_R^\infty \frac{q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 r^4} 4 \pi r^2 dr \\ &=& \frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R} \end{eqnarray*}$$

となる。これは、導体球をコンデンサーと考えた場合に得られる静電エネルギー と同じである。