問題2.2.4

以下の場合の電場を求めよ。

1. 半径$R$の円周上に電荷が一様に電荷密度$\lambda$で分布している場合に、 円周の中心を通って円周が作る面に垂直な直線上の電場。
2. 半径$R$の円板上に電荷が一様に電荷密度$\sigma$で分布している場合に、 円板の中心を通って円板が作る面に垂直な直線上の電場。
3. 無限に広い平面上に電荷が一様に電荷密度$\sigma$で分布している場合に、 空間の任意の点での電場。

===== 解答 =====

円周はxy面内にあるとし、考えている直線をz軸とする。

1. 円周上の $R(\cos \theta, \sin \theta, 0)$における微少線要素$ds=R d\theta$が作 る電場は、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}(z) &=& \int_0^{2\pi} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} ... ...}{2 \varepsilon_0} \frac{R \lambda (0,0,z)}{(R^2+z^2)^{3/2}} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 円盤を半径$r$で幅$dr$の細い輪に分割すると、それぞれの輪に対しては上の解を用 いることができる。このとき、電荷の線密度は$\sigma dr$となる。
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}(z) &=& \int_0^{R} \frac{1}{2\varepsilon_0} \frac{r(... ...silon_0} \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $R \rightarrow \infty$にすれば良いので、
   $$\begin{eqnarray*} \vec{E}(z) &=& \frac{(0,0,1)\sigma}{2 \varepsilon_0} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となる。