ストークスの定理

: 問題1.4.1 : ベクトルに対する微積分 : ガウスの定理目次

ストークスの定理

あるベクトル $\vec{v}$ が与えられているとき、 $\vec{\nabla}\times \vec{v}$ を考える。これを ${\rm rot} \vec{v}$ と表記することもある。

$\begin{eqnarray*} \oint_C \vec{v} \cdot d\vec{s} = \int_S (\vec{\nabla}\times \vec{v}) \cdot d\vec{S} \end{eqnarray*}$

の式が成り立つ。ここで、

は空間中の閉曲線で、

は閉曲線

を縁とする曲面である。閉曲線のある点 $\vec{r}$ における接線ベクトル $\vec{t}(\vec{r})$ を導入して、 $\vec{t}(\vec{r})ds=d\vec{s}$ と書いている。上の式を「ストークスの定理」と言う。

この定理は次のようにして証明される。図1.9のように微小な長方形PQRSを考える。この長方形は流体の流れにさらされている。その流速を $\vec{v}$ とする。この長方形に沿って $\vec{v} \cdot d\vec{s}$ を計算すると、

**図 1.9:** ストークスの定理(a)
$\includegraphics[width=5cm]{fig8a.eps}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} &\displaystyle \oint_{PQRS} \vec{v} \cdot ... ...) dy dx &&\\ =&(\vec{\nabla}\times \vec{v})_z dS&& \end{array}\end{eqnarray*}$

となる。

次に閉曲線とそれを縁とするような曲面を考える。図 1.10参照。この曲面を微小面積に分割して

$\begin{eqnarray*} \int_S (\vec{\nabla}\times \vec{v} )\cdot d\vec{S} \end{eqnarray*}$

を求めよう。これは、上の議論を用いて微小面積のすべての縁について $\vec{v} \cdot d\vec{s}$ を計算しその総和を求めることによっても得られる。しかしながら、隣り合う微小面積の間でキャンセルする部分があるので、結局閉曲線

に沿って $\vec{v} \cdot d\vec{s}$ を計算したもの、すなわち、 $\oint_C \vec{v} \cdot d\vec{s}$ と等しい。

**図 1.10:** ストークスの定理(b)
$\includegraphics[width=7cm]{fig8a1.eps}$

Administrator 平成25年7月6日