問題1.4.3

ベクトル演算の公式を証明せよ。 $$\frac{\partial}{\partial x}=\partial_x$$などと省略するこ とがあるので注意のこと。

1. $\qquad \vec{\nabla}\cdot \{ \vec{a} \times \vec{b} \}= \vec{b} \cdot \{ \vec{\nabla}\times \vec{a} \} - \vec{a} \cdot \{ \vec{\nabla}\times \vec{b} \}$
2. $\qquad \vec{\nabla}\cdot \{ \vec{\nabla}\times \vec{a} \}= 0$
3. $\qquad \vec{\nabla}\times \{\vec{\nabla}\times \vec{a} \} = -\vec{\nabla}^2 \vec{a} + \vec{\nabla}\{\vec{\nabla}\cdot \vec{a}\}$

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} && \vec{\nabla}\cdot \{ \vec{a} \times \vec{b} \} \\ &=&\fra... ...bla}\times \vec{a}) - \vec{a}\cdot(\vec{\nabla}\times \vec{b}) \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $$\begin{eqnarray*} && \vec{\nabla}\cdot \{ \vec{\nabla}\times \vec{a} \} \\ &=& ... ..._z (a_x -a_x) \\ &&+ \partial_z \partial_x (a_y -a_y) \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$
   
   

3. $$\begin{eqnarray*} && \vec{\nabla}\times \{\vec{\nabla}\times \vec{a} \} \\ &=& ... ...ight) \\ &=& -\nabla^2 \vec{a} + \nabla\{\nabla \cdot \vec{a}\} \end{eqnarray*}$$