ベクトル場とベクトル演算子

空間の各点 $\vec{r}$ にベクトル関数 $\vec{v}(\vec{r})$ を指定するとき、ベクトル場 $\vec{v}(\vec{r})$ が与えられたと言う。ベクトル場の例としては、流れ場や電場、磁場がある。ベクトル場に関連する微分演算子としては、

勾配

$\begin{displaymath}{\rm grad} \phi = \partial_x \phi \vec{i} + \partial_y \phi \vec{j} + \partial_z \phi \vec{k} \end{displaymath}$
発散

$\begin{displaymath}{\rm div} \vec{a} = \partial_x a_x + \partial_y a_y + \partial_z a_z \end{displaymath}$
回転

$\begin{eqnarray*} &&{\rm rot} \vec{a} \\ &=& (\partial_y a_z - \partial_z a_... ...a_z) \vec{j} \\ &+& (\partial_x a_y - \partial_y a_x) \vec{k} \end{eqnarray*}$

がある。これらはベクトル演算子（ナブラ）

$\begin{displaymath}\vec{\nabla}= \partial_x \vec{i} + \partial_y \vec{j} + \partial_z \vec{k} \end{displaymath}$

を導入することによって、

$\begin{eqnarray*} {\rm grad} \phi &=& \vec{\nabla}\phi \\ {\rm div} \vec{a}... ... \vec{a} \\ {\rm rot} \vec{a} &=& \vec{\nabla}\times \vec{a} \end{eqnarray*}$

と簡便に表すことができる。ここではナブラのベクトル的な性質を強調するために、 $\vec{\nabla}$ と表記している。多くの場合 $\nabla$ と表記されているので、注意のこと^1.3。

Administrator 平成25年7月6日