ベクトルの微分

あるパラメータ$s$の関数としてベクトル$\vec{a}(s)$が与えられているとき、 そのパラメータに対する微分は

$$\begin{eqnarray*} \frac{d \vec{a}(s)}{ds} = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\vec{a}(s + \Delta s) - \vec{a}(s)}{\Delta s} \end{eqnarray*}$$

とする。物理ではパラメータとして時間$t$を取ることが多い。

以下の性質がある。$\phi$はスカラー関数である。

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  $$\frac{d}{ds}\left(\phi \vec{a} \right) = \left(\frac{d }{ds}\phi \right) \vec{a} + \phi \left(\frac{d}{ds}\vec{a} \right)$$
  
  

• 
  
  $$\frac{d}{ds}\left(\vec{a} \cdot \vec{b} \right) = \left(\fra... ...cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \left(\frac{d}{ds}\vec{b} \right)$$
  
  

• 
  
  $$\frac{d}{ds}\left(\vec{a} \times \vec{b} \right) = \left(\fr... ...mes \vec{b} + \vec{a} \times \left(\frac{d}{ds}\vec{b} \right)$$