問題1.3.4

1. 以下の微分方程式（$y_0, k$は定数）
   
   $$\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = y_0 e^{i k x}$$
   
   
   で $y = y_1 e^{i k x}$が解になるように、定数$y_1$を定めよ。

2. 以下の微分方程式（$y_0, \omega$は定数）
   
   $$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + \frac{\partial y}{\partial x} + y = y_0 e^{i \omega t}$$
   
   
   で $y = y_1 e^{i \omega t}$が解となるように定数$y_1$を定めよ。

===== 解答 =====

1. $$\begin{eqnarray*} y_1 (ik)^2 + y_1 (ik) + y_1 = y_0 \\ \Rightarrow y_1 = \frac{y_0}{-k^2+ik+1} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. $y$ を$x$で偏微分してもゼロなので、
   $$\begin{eqnarray*} y = y_0e^{i \omega t} \\ \Rightarrow y_1=y_0 \end{eqnarray*}$$