オイラーの公式

複素数を引数とする指数関数の微分は虚数を実数の定数と同様に扱って 計算すれば良い。例えば、

$$\frac{d}{d\theta} e^{i\theta} = i e^{i \theta}$$

である。従って、

$$\frac{d^n}{d\theta^n} e^{i\theta} = i^n e^{i \theta}$$

である。 この関係式を用いれば、 複素数を引数とする指数関数と三角関数の間の以下の関係式を証明できる。

$$\begin{eqnarray*} e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \end{eqnarray*}$$