円電流による磁気モーメント

中心が原点で、 半径$a$の円形回路に電流$I$が流れている。回路によって決まる法線ベクトルを $\vec{n}$とすると、十分遠方$\vec{r}$($r \gg a$)での磁場の強さ（磁界）は 以下の式で表すことができる。

$$\vec{H}(\vec{r}) = -\frac{1}{4 \pi r^3} \left( \vec{m} -\frac{3(\vec{m}\cdot \vec{r})\vec{r}}{r^2}\right)$$ (2.75)

ここで、 $\vec{m} = I S \vec{n}$ ($S$は回路の面積。ここでは$S = \pi a^2$)はこの電流による磁気モーメントである^2.2。

計算を簡単にするために、 $\vec{n} = (0,0,1)$とし、$\vec{r}$はxz面内のみを 考えて、 $$\vec{H}(\vec{r})= \frac{I}{4\pi} \int \frac{\vec{t}(\vec{r} ')\times (\vec{r}-\vec{r} ')}{\vert\vec{r} - \vec{r} '\vert^3}ds$$を計算する。 ただし、

• $\vec{r} '=(a \cos \theta, a \sin \theta, 0)$
• $\vec{t}(\vec{r} ')=( -\sin \theta, \cos \theta, 0)$
• $\vec{r}=(x, 0, z)$
• $ds = ad\theta$

として$\theta$を$0$から$2\pi$まで積分する。

$$\vec{H}(\vec{r}) = \frac{I}{4\pi} \int \frac{(-\sin \theta, \cos \theta, 0)\times (... ...theta, z)} {\left( (x-a\cos \theta)^2 + a^2 \sin^2 \theta + z^2\right)^{3/2}}ds$$

$$= \frac{I}{4\pi} \int \frac{(z \cos \theta , z \sin \theta , -x \cos \theta +a )} {\left( x^2 + z^2 +a^2 -2ax\cos \theta \right)^{3/2}}ds$$

$$\approx \frac{I \int (z \cos \theta , z \sin \theta , -x \cos \theta +a )... ...a x \cos \theta}{x^2+z^2+a^2}\right)ds} {4\pi \left( x^2+z^2+a^2 \right)^{3/2}}$$

以後は成分毎に検討しよう。

$$H_x(\vec{r}) = \frac{I \int_0^{2\pi} z \cos \theta \left( 1+ \frac{3 a x \cos \theta}{x^2+z^2+a^2}\right)a d\theta} {4\pi \left( x^2+z^2+a^2 \right)^{3/2}}$$

$$= \frac{I \pi a^2 \frac{3 xz }{x^2+z^2+a^2}} {4\pi \left( x^2+z^2+a^2 \right)^{3/2}} \approx \frac{I \pi a^2}{r^3} \frac{3 xz}{r^2}$$

$$H_y(\vec{r}) = \frac{I \int_0^{2\pi} z \sin \theta \left( 1+ \frac{3 a x \cos \theta}{x^2+z^2+a^2}\right)a d\theta} {4\pi \left( x^2+z^2+a^2 \right)^{3/2}} = 0$$

$$H_z(\vec{r}) = \frac{I \int_0^{2\pi} (-x \cos \theta +a) \left( 1+ \frac{3 a x \cos \theta}{x^2+z^2+a^2}\right)a d\theta} {4\pi \left( x^2+z^2+a^2 \right)^{3/2}}$$

$$= \frac{I \int_0^{2\pi} (a - \frac{3 a x^2 \cos^2 \theta}{x^2+z^2+a^2})a d\theta} {4\pi \left( x^2+z^2+a^2 \right)^{3/2}}$$

$$= \frac{I \pi a^2 } {4\pi \left( x^2+z^2+a^2 \right)^{3/2}} \frac{-x^2 +2z^2 }{x^2+z^2+a^2}$$

$$\approx \frac{I \pi a^2}{r^3} \frac{-x^2 +2z^2 }{r^2}$$

得られた近似式は式2.75に $\vec{n} = (0,0,1)$を代入したもの になっている。また、z軸周りに回転することによって、y成分が0でない場合も 求めることができる。