問題2.6.9

長さが無限と見なせる幅$a$の薄い平らな導体板（xy面内にあり，幅はy方向とする）に 電流$I$が流れている。電流密度は一様である。 板の中央線上の任意の点を原点とし，z軸上の点$(0,0,z)$における磁界を求めよ。

===== 解答 =====

この導体を流れる電流を点$(0,y,0)$を通るx軸に沿った無限に長い電流を $-a/2$から$a/2$まで積分すれば良い。 問題2.6.6より，z軸上の点$(0,0,z)$の磁界の大きさは

$$\begin{eqnarray*} \vert d\vec{H} \vert = \frac{(I/a) dy}{2\pi \sqrt{y^2+z^2}} \end{eqnarray*}$$

である。向きまで考慮すると

$$\begin{eqnarray*} d\vec{H} = \frac{(I/a) dy}{2\pi \sqrt{y^2+z^2}} \frac{(1,0,0)... ...sqrt{y^2+z^2}} =\frac{I dy}{2 \pi a} \frac{(0,-z,-y)}{(y^2+z^2)} \end{eqnarray*}$$

$\vec{H}(z)$は

$$\begin{eqnarray*} \vec{H}(z)= \int d\vec{H} = \frac{I}{2 \pi a} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{(0,-z,-y)}{(y^2+z^2)} dy \end{eqnarray*}$$

となり，z成分の被積分関数が奇関数の寄与は0になる。 また、 $y = z \tan \theta, z \tan \theta_0 = a/2$とおくと、

$$\begin{eqnarray*} \vec{H}(\vec{r}) &=& (0, -z, 0)\frac{I}{2\pi a z} \int_{-\the... ...}^{\theta_0} d\theta \\ &=& (0, -1, 0)\frac{I \theta_0}{\pi a } \end{eqnarray*}$$

となる。