問題2.3.2

半径$R$の無限に長い円筒の内部に電荷が密度$\rho$で一様に分布している。 この電荷が作るポテンシャル、電場を求め、その電場がガウスの法則の微分形を 満たすことを示せ。

===== 解答 =====

電荷の分布は、

$$\begin{eqnarray*} \rho(\vec{r}) = \left\{\begin{array}{ll} \rho & x^2+y^2 \le R^2 \\ 0 & x^2+y^2 > R^2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

である。z軸方向に長さ$L$の円筒を考えてガウスの法則を適用すると、電場は

$$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{r}) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\rho}{2\va... ...0}\frac{(x,y,0)}{x^2+y^2} & x^2+y^2 > R^2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

なので、球の内外で $\vec{\nabla}\cdot \vec{E}(\vec{r})$を計算し、電荷の分布と 比較すれば良い。