ガウスの法則の微分形

ガウスの法則の積分形は

$$\begin{eqnarray*} \int_S \vec{D}(\vec{r})\cdot d\vec{S} = \int_V \rho(\vec{r}) dV \end{eqnarray*}$$

と表すことができる。これにガウスの定理を適用することによって、

$$\begin{eqnarray*} \int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{D}(\vec{r}) dV = \int_V \rho(\vec{r}) dV \end{eqnarray*}$$

となる。体積$V$は任意だから、積分の中身が等しい必要がある。 従って、

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{D}(\vec{r}) = \rho(\vec{r})$$ (2.39)

となる。これがガウスの法則の微分形である。