問題2.3.1

半径$R$の球内に一様に電荷が分布している。その電荷密度は$\rho$である。 この電荷によって作られる電場をもとめ、それがガウスの法則の微分形を 満たすことを示せ。

===== 解答 =====

電荷の分布は、

$$\begin{eqnarray*} \rho(\vec{r}) = \left\{\begin{array}{ll} \rho & \vert\vec{r}\vert \le R \\ 0 & \vert\vec{r}\vert > R \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

である。電場は、

$$\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{r}) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{\rho}{3\va... ...rt\vec{r}\vert^3} & \vert\vec{r}\vert > R \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

なので、球の内外で $\vec{\nabla}\cdot \vec{E}(\vec{r})$を計算し、電荷の分布と 比較すれば良い。